Equação de Nernst-Planck e equações derivadas

eq.1 µ = µo + RT lnC + vP + zFV (Potencial eletroquímico)

eq.2 J = - mC dµ/dx (Equação de Nernst-Planck)

eq.3 dµ/dx = RT dlnC/dx + v dP/dx + z F dV/dx (Força local)

Difusão: fluxo movido por gradiente de concentração.

eq.4        dµ/dx = RT dlnC/dx         (força local)

eq.5        J = - m C RT dlnC/dx     ( Equação de Nernst-Planck )

eq.6        Jdx = - m C RT dlnC

eq.7        dlnC = 1/C dC

eq.8        J dx = - m C RT 1/C dC

Integrando entre as faces 1 e 2 da membrana, e assumindo condição estacionária em que o fluxo que
atravessa a membrana é o mesmo em todos os planos paralelos às faces da membrana, temos:

eq.9        J Ðx = - m RT ÐC

    (O símbolo Ð está sendo usado no lugar da letra grega delta maiúscula)

eq.10        J = - mRT ÐC/Ðx        ( Primeira lei de Fick da difusão )

Por definição,

eq.11            mRT = D (coeficiente de difusão)

eq.12            D / Ðx = (coeficiente de permeabilidade)

Migração iônica: fluxo movido por gradiente de potencial elétrico.

eq.13        dµ/dx = z F dV/dx         (força local)

eq.14        J = - m C RT dlnC/dx     ( Equação de Nernst-Planck )

eq.15        J = - m C z F dV/dx

eq.16        J dx = - m C z F dV

Integrando entre as faces 1 e 2 da membrana, e assumindo condição estacionária em que o fluxo que
atravessa a membrana é o mesmo em todos os planos paralelos às faces da membrana, temos:

eq.17        J Ðx = - m C z F ÐV

eq.18        J = - m C z F ÐV / Ðx

Eletrodifusão: fluxo movido por gradientes de concentração e de potencial elétrico.

eq.19        dµ/dx = RT dlnC/dx + z F dV/dx         (força local)

eq.20        J = - m C (RT dlnC/dx + z F dV/dx)

       Hipótese de campo elétrico constante no interior da mambrana (eq.21)

eq.21          dV/dx = ÐV/Ðx

eq.22       J = - m RT dC/dx + m C z F ÐV/Ðx

       Dividindo-se eq.22 por - m RT   e reagrupando os termos, temos:

eq. 23    dC/dx = (z F / RT) (ÐV/Ðx) C = - J / (m RT)

       que é uma equação diferencial linear de primeira ordem, não homogênea, do tipo:

eq.24      dy/dx + Py = Q,   onde:

eq.25    P = (zF / RT) (ÐV/Ðx)

eq.26    Q = - J / (m RT)

       Integrando entre as faces 1 e 2 da membrana, e assumindo condição estacionária em que o fluxo que
atravessa a membrana é o mesmo em todos os planos paralelos às faces da membrana, temos:

                                                   C2 exp(z F ÐV/RT) - C1
eq.27    J = - m z F (ÐV/Ðx) -----------------------------------
                                                         exp(z F ÐV/RT) - 1

Introduzindo-se o coeficiente de partição (B) temos:

                                                  C2 exp(z F ÐV/RT) - C1
eq.28    J = - m z F B (ÐV/Ðx) -----------------------------------
                                                         exp(z F ÐV/RT) - 1

Utilizando-se as relações vistas anteriormente, temos:

                                                    C2 exp(z F ÐV/RT) - C1
eq.29    J = - P z F (ÐV/RT) -----------------------------------
                                                         exp(z F ÐV/RT) - 1

Sabendo-se que I = J z F,   temos:

                                                 C2 exp(z F ÐV/RT) - C1
eq.30    I = - P z^2 F^2 (ÐV/RT) -----------------------------------
                                                        exp(z F ÐV/RT) - 1